二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换

前提知识

我们需要了解一个数学关系，即2^3=8，2^4=16，而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。接着，记住4个数字8、4、2、1（2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1）。

包含小数的进制换算：

(ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2

=2560+176+12+0.5+0.046875

=(2748.546875)D

负次幂的计算

同底数幂相除，底数不变，指数相减，反过来
1
2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5

二进制与八进制的转换

二进制与八进制之间的关系式每个八进制位对应三个二进制位，即一个八进制的数，是由3位二进制构成

二进制转换为八进制：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

八进制转换为二进制：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

二进制与八进制编码对应表：

八进制	二进制
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

// 通过表格可以一步完成下面的转换
// 将二进制的(11010111.0100111)B转换为八进制的步骤如下：

1. 小数点前111 = 7；
2. 010 = 2；
3. 11补全为011，011 = 3；
4. 小数点后010 = 2；
5. 011 = 3；
6. 1补全为100，100 = 4；
7. 读数，读数从高位到低位，即(11010111.0100111)B=(327.234)O。

// 将八进制的(327)O转换为二进制的步骤如下：

1. 3 = 011；
2. 2 = 010；
3. 7 = 111；
4. 读数，读数从高位到低位，011010111，即(327)O=(11010111)B。

二进制与十六进制的转换

二进制与十六进制之间的关系式每个十六进制位对应四个二进制位，即一个十六进制的数，是由4位二进制构成

二进制转换为十六进制：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。

十六进制转换为二进制：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。

二进制与十六进制编码对应表：

十六进制	二进制
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10/A	1010
11/B	1011
12/C	1100
13/D	1101
14/E	1110
15/F	1111

// 将十六进制的(D7)H转换为二进制的步骤如下：

1. D = 1101；
2. 7 = 0111；
3. 读数，读数从高位到低位，即(D7)H=(11010111)B。

// 将二进制的(11010111)B转换为十六进制的步骤如下：

1. 0111 = 7；
2. 1101 = D；
3. 读数，读数从高位到低位，即(11010111)B=(D7)H。

八进制和十六进制的转换

以二进制或者十进制为媒介进行转换

十进制与二进制、八进制、十六进制的转换

十进制转换为二进制

十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换。当转换整数时，用的除2取余法；而转换小数时候，用的是乘2取整法

整数部分规则：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

小数部分规则：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分
为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数

// 将0.125换算为二进制结果为0.001 
分析：第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25; 
第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5; 
第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0; 
第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

二进制转换为十进制

不分整数和小数部分

二进制数小数点前从低位到高位（即从右往左）计算，权值依次是2^0，2^1，2^2，2^3…；小数点后面的权值依次是2^(-1), 2^(-2),2^(-3)… 把最后的结果相加的值就是十进制的值了。例如：

1 2	// 10101.01转换成十进制数，结果是21.25 1x2^4+0x2^3+1x2^2+0x2^1+1x2^0+0x2^(-1)+1x2^(-2)=14+6+1+0.25=21.25

十进制转八进制

间接法：先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制
直接法：分为整数部分和小数部分
十进制转换为八进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换。当转换整数时，用的除8取余法；而转换小数时候，用的是乘8取整法
1. 整数部分规则：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。
2. 小数部分规则：乘8取整法，即将小数部分乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以8，一直取到小数部分
  为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是3还是4取舍，如果是3，舍掉，如果是4，进一位。换句话说就是3舍4入。读数要从前面的整数读到后面的整数